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升舱由商家掏钱

参数定义

参数含义
τij\tau_{ij}采用折扣jj时冒泡ii(包含该冒泡的本身特征)的发单率增量
ecr(j)ecr(j)采用折扣jj时冒泡发单率(忽略冒泡ii下标)(j=0j=0时不补贴)
cricr_{i}冒泡ii的发单完单率
τjr(xi)\tau_{j}^{r}(x_{i})折扣jj给冒泡ii带来的gmvgmv增量
τjc(xi)\tau_{j}^{c}(x_{i})折扣jj给冒泡ii带来的costcost增量
BB补贴预算

优化模型

minf(Z)=i=0N1j=0Mτjr(xi)zijs.ti=0N1j=0Mτjc(xi)zijB\begin{aligned} minf(Z)=-\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{M}\tau_{j}^{r}(x_{i})\cdot z_{ij} \\ s.t \sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{M}\tau_{j}^{c}(x_{i})\cdot z_{ij} \leq B \end{aligned}

拉格朗日函数

minL(Z,λ)=[i=0N1j=0M(τjr(xi)λτjc(xi))zij]λB\begin{aligned} minL(Z,\lambda)=-[\sum_{i=0}^{N-1}\sum_{j=0}^{M}(\tau_{j}^{r}(x_{i})-\lambda \tau_{j}^{c}(x_{i}))\cdot z_{ij}]-\lambda \cdot B \end{aligned}

拉格朗日对偶函数

原问题目标函数和约束都为凸函数,满足强对偶条件,转为求解

maxλ0minZDL(Z,λ)\max_{\lambda \geq 0}\min_{Z \in D}L(Z,\lambda)

其中DD为原问题决策变量的定义域

λ\lambdaBB固定时,该问题实际上为一个连续背包问题,此时:

zij=argmaxzijj=0M(τjr(xi)λτjc(xi))zijji=argmaxj(τjr(xi)λτjc(xi))\begin{aligned} z_{ij}^{*}=\underset{z_{ij}}{\arg\max}\sum_{j=0}^{M}(\tau_{j}^{r}(x_{i})-\lambda \tau_{j}^{c}(x_{i}))\cdot z_{ij} \\ j^{*}_{i}=\underset{j}{\arg\max}(\tau_{j}^{r}(x_{i})-\lambda \tau_{j}^{c}(x_{i})) \end{aligned}

其中:

τjr(xi)λτjc(xi)\begin{aligned} \tau_{j}^{r}(x_{i})-\lambda \tau_{j}^{c}(x_{i}) \end{aligned}

即为连续背包问题中的valuejweightj\frac{value_{j}}{weight_{j}} ,补贴策略选择τjr(xi)λτjc(xi)\tau_{j}^{r}(x_{i})-\lambda \tau_{j}^{c}(x_{i})最大的即可

求解

因此,我们要对该问题求解,应该分成两步:

  1. 给定补贴率ss
  2. 通过一些算法求出最优的BB^{*}λ\lambda^{*}
  3. 在求BBλ\lambda的迭代过程中,根据每个BBλ\lambda,快速求出对应的策略

Tips

不同的补贴率对应不同的预算BB,对每个补贴率求出最优的λ\lambda,作为字典供线上使用 对于每种补贴率下的预算BB,它和gmv相关,在补贴率确定的情况下,通过某种算法确定gmv,固定gmv就等同于固定了BB,此时通过三分法求解λ\lambda^{*}

λ\lambda的实际意义是边界ROI,BB越少的情况下,λ\lambda越大,BB越多的情况下,λ\lambda越小

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